Question

如图，在△ABC中，AB=5，AC=8，BC=10，点D、E分别是边AC、AB上的动点，以DE为直径作⊙O．
（1）如图1，如果DE为△ABC的中位线，试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）在BC与⊙O相切的条件下，
①如图2，如果点A与点E重合，试求⊙O的半径；
②如图3，如果DE∥BC，试求⊙O的半径；
③求⊙O的半径的最小值（直接写出答案）．

Answer 1

分析：（1）如图1，过点E作EF⊥BC于点F．利用两平行线间的距离的定义知EF即DE与BC间的距离，由三角形中位线定理求得⊙O的半径，然后通过比较EF与⊙O的半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系；
（2）①设⊙O半径为r₁．根据相似三角形Rt△COF∽Rt△CBA的对应边成比例列出比例式

OF

AB

=

OC

BC

，即

r1

6

=

8-r1

10

，易求r₁=3；
②作直角三角形ABC斜边上的高线AH．利用相似三角形△AED∽△ABC的对应高线之比等于相似比的性质列出比例式

AG

AH

=

DE

BC

，即

AH-r2

AH

=

2r2

BC

，易求r₂=

120

49

；
③当AF⊥BC，即A、O、F三点共线时，⊙O的半径最小．

解答：解：（1）⊙O与BC相交．理由如下：
如图1，过点E作EF⊥BC于点F．
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=

1

2

BC=5，BE=

1

2

AB=3，
∴⊙O的半径为

5

2

，DE与BC间的距离就是EF的长度．
∵sin∠B=

EF

BE

=

AC

BC

，即

EF

3

=

8

10

，
∴EF=

12

5

．
∵

5

2

＞

12

5

，
∴⊙O与BC相交；

（2）①设⊙O半径为r₁．
∵⊙O与BC相切，
∴OF⊥BC．
∵Rt△COF∽Rt△CBA，
∴

OF

AB

=

OC

BC

，即

r1

6

=

8-r1

10

，
∴r₁=3，即⊙O半径为3；
②设⊙O半径为r₂．
∵BC与⊙O相切，
∴OF⊥BC．　
过点A作AH⊥BC交DE于G，交BC于点H．则GH=OF=r₂．
∵

1

2

AB•AC=

1

2

BC•AH，即6×8=10×AH，
∴AH=

24

5

．
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴

AG

AH

=

DE

BC

，即

AH-r2

AH

=

2r2

BC

，
∴

24 5 -r2

24 5

=

2r2

10

，
解得．r₂=

120

49

，即⊙O半径为

120

49

；
③连接OA．要使得⊙O半径最小，则要OA+OF最小，此时，A，O，F三点共线且A，O，F所在直线垂直于BC．即AO+OF=

24

5

，
所以，⊙O半径最小为：

1

2

（AO+OF）=

12

5

．

点评：本题考查了圆的综合题．注意：勾股定理的逆定理、直角三角形的面积、解直角三角形、切线的性质以及“相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应边上高线之比等于相似比”等相似三角形的性质，在本题的解答过程中的综合运用．