题目内容

如图，在平面直角坐标系中，点A（-6，0）、点C（0，4），四边形OABC是矩形，以点O为圆心的⊙O过点D（ $数学公式$ ，0），点P从点O出发，沿O-C-B-A以1厘米/秒的速度运动，直线l为AP的垂直平分线，垂足为E，设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，AP与⊙O相切？
（2）请你探究当直线l与⊙O相切时t的值．

（1）设AP与⊙O相切于点H，如图，
连接OH，则OH⊥AP，
∴AH= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
由△AHO∽△AOP得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
则OP= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．

（2）①设直线l与⊙O相切于点F，当P在OC上时，如图，连接OF，
设OG=x，AE=y，则AG=6-x，AP=2y．
由△OFG∽△AEG，得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
由△AEG∽△AOP得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
（或△OFG∽△AOP得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ）
∴OP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
②当P在AB上时，如图，AE=OQ= $\text{[math]}$ ，∴AP=2AE= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
③当P在BC上时，则连接AP，做它的中垂线，是和圆相离，故不成立．
综上，当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，直线l与⊙O相切．

分析：（1）设AP与⊙O相切于点H，如图，连接OH，则OH⊥AP，求得AH，再由△AHO∽△AOP得 $\text{[math]}$ ，即可得出OP；从而求出t的值；
（2）设直线l与⊙O相切于点F，分两种情况讨论：①当P在OC上时，如图，连接OF，设OG=x，AE=y，则AG=6-x，AP=2y．由△OFG∽△AEG，和由△AEG∽△AOP即可得出t；②当P在AB上时，如图，AE=OQ= $\text{[math]}$ ，则AP=2AE= $\text{[math]}$ ，从而得出t，即直线l与⊙O相切；③当P在BC上时，则连接AP，做它的中垂线，是和圆相离，故不成立．
点评：本题是一道综合题，考查了切线的判定和性质、坐标和图形的性质以及相似三角形的判定和性质，难度较大．