题目内容

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象经过点M（1，-2）、N（-1，6）．把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC=5．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，则△ABC平移的距离为．若把△ABC沿着y轴的负方向平移距离为，能使得BC所在直线与抛物线只有一个交点．

1+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：把M，N的坐标代入y=x²+bx+c即可求得抛物线解析式，易求得AB长，利用勾股定理即可求得AC长，那么把AC作为抛物线上点的纵坐标代入可求得横坐标，减去点A的横坐标即为平移的距离；易求得BC的解析式，设出平移后的解析式，与二次函数组成方程组，整理后让判别式为0即可得到平移的距离．
解答：把M、N的坐标代入y=x²+bx+c，得：b+c=-3，c-b=5，解得b=-4，c=1，
∴函数解析式为：y=x²-4x+1．
∵AB=4-1=3，BC=5，
∴AC=4，
∴C（1，4），
∴4=x²-4x+1，
解得x=2+ $\text{[math]}$ 或x=2- $\text{[math]}$ （舍），2+ $\text{[math]}$ -1=1+ $\text{[math]}$ ，
∴△ABC向右平移了（1+ $\text{[math]}$ ）个单位；
设BC的解析式为y=kx+b，
则4k+b=0，k+b=4，
解得k=- $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
设向上平移m个单位，则y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ +m，那么 $\text{[math]}$
∴x²-4x+1=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ +m，
∴x²- $\text{[math]}$ x+（- $\text{[math]}$ -m）=0，
当△=0时，
（ $\text{[math]}$ ）²-4×（-m- $\text{[math]}$ ）=0，
解得m=- $\text{[math]}$ ，
∴应向上平移 $\text{[math]}$ 个单位．
点评：左右平移，点的纵坐标不变；抛物线与直线只有一个交点，抛物线解析式与直线解析式整理为一元二次方程后，根的判别式为0．