Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（1，0），点B（3，0），点C(0，

4 3

3

)，直线l经过点C，
（1）若在x轴上方直线l上存在点E使△ABE为等边三角形，求直线l所表达的函数关系式；
（2）若在x轴上方直线l上有且只有三个点能和A、B构成直角三角形，求直线l所表达的函数关系式；
（3）若在x轴上方直线l上有且只有一个点在函数y=

2

x

的图形上，求直线l所表达的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）若△ABE为等边三角形，由等边三角形的性质可求E点坐标，用“两点法”求直线l解析式；
（2）分别过A、B两点作x轴的垂线，与直线l相交，可得两个直角三角形，若直线l上有一点F（2，1），可得△ABF为等腰直角三角形，用“两点法”求直线l解析式；
（3）①当直线l∥x轴时，直线l与函数y=

2

x

的图形有一个交点，②当直线l与x轴不平行时，设直线l解析式为y=kx+

4 3

3

，与函数y=

2

x

联立解方程组，得出唯一解时k的值即可．

解答：解：（1）当直线l上存在一点E，使△ABE为等边三角形时，E（2，

3

），
设直线l解析式为y=kx+

4 3

3

，
将E（2，

3

），代入2k+

4 3

3

=

3

，
解得k=-

3

6

，
∴直线l解析式为y=-

3

6

x+

4 3

3

（4分）

（2）当在x轴上方直线l上有且只有三个点能和A、B构成直角三角形时，
设直线l上的点为F，则A、B、F都可能作为直角顶点，
当F为直角顶点时，△ABF为等腰直角三角形，此时F（2，1），
将F（2，1）代入直线l解析式为y=kx+

4 3

3

中，
得k=-

2 3

3

+

1

2

，
∴y=（-

2 3

3

+

1

2

）x+

4 3

3

；（8分）
（3）①当直线l∥x轴时，直线l与函数y=

2

x

的图形有一个交点，
此时，直线l解析式为y=

4 3

3

，
②当直线l与x轴不平行时，
设直线l解析式为y=kx+

4 3

3

，
联立

y=kx+ 4 3 3 y= 2 x

，
得kx²+

4 3

3

x-2=0，
当△=0时，两函数图象只有一个交点，即（

4 3

3

）²+8k=0，
解得k=-

2

3

，
此时，直线l解析式为y=-

2

3

x+

4 3

3

等（写出一个正确答案即可）            （12分）

点评：本题考查了一次函数的综合运用，反比例函数与一次函数的交点问题，特殊三角形的性质．关键是采用形数结合的方法，确定直线l上点的坐标，求一次函数解析式．