Question

设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d。
（1）如图①，当r＜a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：

所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有_________个；
（2）如图②，当r=a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：

所以，当r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有____________个；
（3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r=a；

（4）就r＞a的情形，请你仿照“当……时，⊙O与正方形的公共点个数可能有_______个”的形式，至少给出一个关于“⊙O与正方形的公共点个数”的正确结论。

Answer 1

解：（1）

所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个；
（2）

所以，当r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个；
（3）如图所示，连结OC，则OE=OC=r ，OF=EF-OE=2a-r，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：OF²+FC²=OC²，
即（2a-r）²+a²=r²，
4a²-4ar+r²+a²=r²
5a²=4ar 5a=4r
∴r=a；

①当a＜r＜时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个；
②当r=时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个；
③当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；
④当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个；
⑤当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个。