Question

【题目】如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；

（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x2-x-1；(2) D（1，0）；(3) P1（2.5，-3.5）、P2（1，-2）、P3（，--1），P4（-，-1）．

【解析】

（1）用待定系数法求得二次函数的解析式；

（2）设点D的坐标为（m，0）， （0＜m＜2），由△ADE∽△AOC得，从而求得DE的长，通过△CDE的面积公式求得当m=1时，△CDE的面积最大，即可求出点D的坐标；

（3）求出直线BC的解析式，若三角形为等腰三角形，则有三种可能，利用勾股定理从而求得P点的坐标．

解：（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C(0，－1)

∴解得：b=－c=－1

∴二次函数的解析式为

（2）设点D的坐标为（m，0）， （0＜m＜2）

∴ OD=m∴AD=2-m由△ADE∽△AOC得，

∴∴DE=

∴△CDE的面积=××m=

当m=1时，△CDE的面积最大，此时点D的坐标为（1，0）

（3）存在.

由(1)知：二次函数的解析式为

设y=0则解得：x1=2， x2=－1，

∴点B的坐标为（－1，0） C（0，－1）

设直线BC的解析式为：y=kx＋b

∴解得：k=-1，b=-1，

∴直线BC的解析式为:y=－x－1

在Rt△AOC中，∠AOC=90°

OA=2 OC=1，由勾股定理得：AC=

∵点B(－1，0) 点C（0，－1），∴OB=OC ∠BCO=45°

①当以点C为顶点且PC=AC=时，

设P(k, －k－1),过点P作PH⊥y轴于H，

∴∠HCP=∠BCO=45°，CH=PH=∣k∣，在Rt△PCH中

k2+k2=解得k1=，k2=－

∴P1（，－） P2（－，）

②以A为顶点，即AC=AP=

设P(k, －k－1),过点P作PG⊥x轴于G，

AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣

在Rt△APG中 AG2＋PG2=AP2，（2－k)2+(－k－1)2=5 解得：k1=1,k2=0(舍)

∴P3(1, －2) (3分)

（3）AP=CP，此时AP=CP

2x-2x+5=2x

-2x=-5，x=2.5

代入BC方程，y=-3.5

因此P4（2.5，-3.5）

综上所述，存在四点：P1（2.5，-3.5）、P2（1，-2）、P3（，--1），P4（-，-1）．