题目内容

在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm，底BC=10cm（如图1）．动点Q从点B出发，沿BC运动到点C停止，运动的速度都是1cm/s．同时，动点P也从B点出发，沿BA→AD运动到点D停止，且PQ始终垂直BC．设P，Q同时从点B出发，运动的时间为t（s），点P运动的路程为y（cm）．分别以t，y为横、纵坐标建立直角坐标系（如图2），已知如图中线段为y与t的函数的部分图象．经测量点M与N的坐标分别为（4，5）和 $数学公式$ ．
（1）求M，N所在直线的解析式；
（2）求梯形ABCD中边AB与AD的长；
（3）写出点P在AD边上运动时，y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图2中补全整运动中y关于t的函数关系的大致图象．

解：（1）设：设M，N所在直线的解析式为y=tx+b，把点M与N的坐标（4，5）和 $\text{[math]}$ ，分别代入得： $\text{[math]}$ ，
解得：t= $\text{[math]}$ ，b=0．
∴M，N所在直线的解析式为y= $\text{[math]}$ x；

（2）∵P在AB段与AD段的解析式不同，
∴AB段：y= $\text{[math]}$ ，
∴AD段：y= $\text{[math]}$ （此处为AB段长度）+t- $\text{[math]}$ （此处为Q运动到A点时，BQ的长度），由（1）可知，cosB= $\text{[math]}$ ，
又∵CD=6cm，BC=10cm
∴由勾股定理可得AB=10CM，AD=2CM．

（3）由（2）可知：AB段：y= $\text{[math]}$ t（t＜8）；
AD 段：y=t+2 （8≤t≤10），再画函数的图象即可．

分析：（1）设M，N所在直线的解析式为y=kx+b，把点M与N的坐标（4，5）和 $\text{[math]}$ ，代入求的k和b值，问题得解；
（2）由题意可知P在AB段与AD段的解析式不同，把每一段的函数表达式求出，再利用勾股定理可把AB与AD的长求出；
（3）由（2）可知：AB段：y= $\text{[math]}$ t（t＜8）；AD段：y=t+2（8≤t≤10），再画函数的图象即可．
点评：本题考查了一次函数和直角梯形、三角形的相关知识的综合应用．借助函数图象表达题目中的信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．