题目内容
如图，AB，AC，AD是圆中的三条弦，点E在AD上，且AB=AC=AE．请你说明以下各式成立的理由：（1）∠CAD=2∠DBE；
（2）AD2-AB2=BD•DC．
分析：（1）如图要证明∠CAD=2∠DBE，延长BE交圆于点F，只需要证明∠1=∠DBF，点F是弧CD的中点，这样就可以证明出结论．
（2）要证明结论的成立构造相似三角形，利用相似三角形的线段比证明其线段的关系，连接BC设BC与AD的交点为G．∴△BAG∽△DAB和△BDG∽△ADC，从而证明出结论．
（2）要证明结论的成立构造相似三角形，利用相似三角形的线段比证明其线段的关系，连接BC设BC与AD的交点为G．∴△BAG∽△DAB和△BDG∽△ADC，从而证明出结论．
解答：
证明：（1）延长BE交圆于点F，
∴∠DBF=∠1
∵AB=AE
∴∠ABE=∠AEB=∠1+∠F
∴
=
+
=
+
∵AB=AC
∴
=
∴
=
∴点F是
的中点
∴∠DAC=2∠1
∴∠CAD=2∠DBE；
（2）连接BC交AD于点G，
∵AB=AC
∴∠2=∠5，∠BAG=∠DAB，
∴△BAG∽△DAB．
∴AB2=AG•AD．
∴AD2-AB2=AD2-AG•AD=AD（AD-AG）=AD•DG，
∵∠5=∠ADC，∠DBG=∠DAC，
∴△BDG∽△ADC．
∴
=
，
∴AD•DG=BD•DC．
∴AD2-AB2=BD•DC．
证明：（1）延长BE交圆于点F，∴∠DBF=∠1
∵AB=AE
∴∠ABE=∠AEB=∠1+∠F
∴
 |
| AF |
|
| AC |
|
| CF |
|
| AB |
|
| DF |
∵AB=AC
∴
|
| AB |
|
| AC |
∴
|
| CF |
|
| DF |
∴点F是
|
| CD |
∴∠DAC=2∠1
∴∠CAD=2∠DBE；
（2）连接BC交AD于点G，
∵AB=AC
∴∠2=∠5，∠BAG=∠DAB，
∴△BAG∽△DAB．
∴AB2=AG•AD．
∴AD2-AB2=AD2-AG•AD=AD（AD-AG）=AD•DG，
∵∠5=∠ADC，∠DBG=∠DAC，
∴△BDG∽△ADC．
∴
| BD |
| AD |
| DG |
| DC |
∴AD•DG=BD•DC．
∴AD2-AB2=BD•DC．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，弧、弦、圆周角之间的关系．
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