Question

在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当AB=

1+ 5

2

BC时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．

Answer 1

分析：如果在黄金矩形ABCD的较长边AB上截取AE=BC，另一边DC上截取DF=BC，连接EF，那么可以证明四边形AEFD是正方形；然后证明矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比即可．

解答：证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．
∵AE=BC，DF=BC，
∴AE=DF=BC=AD，
又∵∠ADF=90°，
∴四边形AEFD是正方形．
BE=AB-AE=

1+ 5

2

BC-BC=

5 -1

2

BC，
∴

BE

BC

=

5 -1

2

，
∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．
∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．

点评：此题考查了黄金分割比的意义．本题中将已知黄金矩形ABCD分割成一个以较短边AD为边的正方形和一个较小矩形是解决问题的关键．