Question

如图，高36米的楼房AB正对着斜坡CD，点E在斜坡CD的中点处，已知斜坡的坡角（即∠DCG）为30°，AB⊥BC．

（1）若点A、B、C、D、E、G在同一个平面内，从点E处测得楼顶A的仰角α为37°，楼底B的俯角β为24°，问点A、E之间的距离AE长多少米？（精确到十分位）

（2）现计划在斜坡中点E处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线BC的平台EF和一条新的斜坡DF，使新斜坡DF的坡比为：1．某施工队承接这项任务，为尽快完成任务，增加了人手，实际工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前2天完成任务，施工队原计划平均每天修建多少米？

（参考数据：cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan24°≈0.45，cos24°≈0.91）

Answer 1

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；分式方程的应用；解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】（1）延长FE交AB于M，设ME=x，根据直角三角形函数得出AM=tanα•x，BM=tanβ•x，然后根据tanα•x+tanβ•x=36，即可求得EM的长，然后通过余弦函数即可求得AE；

（2）根据BM=NG=DN，得到DN的长，然后解直角三角形函数求得EN和FN，进而求得EF和DF的长，然后根据题意列出方程，解方程即可求得．

【解答】解：（1）延长FE交AB于M，

∵EF∥BC，

∴MN⊥AB，MN⊥DG，

设ME=x，

∴AM=tanα•x，BM=tanβ•x，

∵AB=36，

∴tanα•x+tanβ•x=36，

∴tan37°x+tan24°x=36，

0.75x+0.45x=36，

解得x=30，

∴AE==≈37.5（米）；

（2）延长EF交DG于N，

∵GN=BM=tan24°•30=13.5，DE=CE，EF∥BC，

∴DN=GN=13.5（米），

∵∠DCG=30°，

∴∠DEN=30°，

∴EN=DN•cot30°=13.5×，

∵=，

∴∠DFN=60°，

∴∠EDF=30°，FN=DN•cot60°=13.5×，

∴DF=EF=EN﹣FN=13.5×，

∴EF+DF=27×=18，

设施工队原计划平均每天修建y米，

根据题意得， =+2，

解得x=3（米），

经检验，是方程的根，

答：施工队原计划平均每天修建3米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰俯角和坡度角的问题，解题的关键是构造直角三角形．