Question

如图，抛物线与双曲线相交于点A、B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.

（1）求实数的值；

（2）过抛物线上点A作直线AC∥Ox，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.

Answer 1

解：（1）∵点A（1，4）在双曲线上，

∴k=4.

 故双曲线的函数表达式为.

设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为，则有

    解得

于是，直线AB与y轴的交点坐标为，

故，

整理得，

解得t=-2或(舍去)

∴点B的坐标为（-2，-2）

∵点A，B都在抛物线（a0）上，

∴解得

（2）如图，∵AC∥x轴，

∴C（-4，4），∴CO＝. 又BO=，

∴.

设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D，

 则点D的坐标为（-3，0）.

∵∠COD＝∠BOD＝45°，∴∠COB=90°（i）将△BOA绕点O顺时针旋转90°，得到△B’OA.这时，点B’(-2，2)是CO的中点，点A₁的坐标为（4，-1）.

延长OA₁到点E₁，使得OE₁=2OA₁，这时点E₁（8，-2）是符合条件的点.．．．．．9分

（ii）作△BOA关于x轴的对称图形△BOA₂，得到点A₂（1，-4）；延长O A₂到点E₂，使得OE₂＝2OA₂，这时点E₂（2，-8）是符合条件的点

∴点E的坐标是（8，-2），或（2，-8）.