题目内容

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（ $数学公式$ ，-4）的抛物线交y轴于点C（0，-3），交x轴于点A、B（点B在点A的右侧）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点A作AD⊥AC交抛物线于点D．
①点E为抛物线上一点，且S_△ABD：S_△ABE=5：8，求点E的坐标；
②设P点是直线AD下方抛物线上的一动点，过点P作PM平行于y交AD于点M，求出线段PM的最大值．

解：（1）设二次函数的解析式是：y=a（x-h）²+k （a≠0）
则： $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ -4，
∴ $\text{[math]}$ ；

（2）①∵抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴的交点C的坐标为（0，-3），
与x轴的交点AB的坐标分别为（ $\text{[math]}$ ，0）（3 $\text{[math]}$ ，0），
∴直线AC的解析式为y=- $\text{[math]}$ -3，
AB=4 $\text{[math]}$ ，
∵AD⊥AC，
∴直线AD的解析式为y= $\text{[math]}$ x+1，
由 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∴D点的坐标为（4 $\text{[math]}$ ，5），
∴S_△ABD= $\text{[math]}$ =10 $\text{[math]}$ ，
S_△ABE=16 $\text{[math]}$ ，
∴△ABE中，AB边上的高为8，
由 $\text{[math]}$ ，得
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴E点的坐标为：（ $\text{[math]}$ ，8），（ $\text{[math]}$ ，8），
②设P点的坐标为（m， $\text{[math]}$ ），
则M点的坐标（m， $\text{[math]}$ ，
∴PM=（ $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ ），
=- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴当m= $\text{[math]}$ 时，PM的最大值是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）本题需先设出二次函数的解析式是：y=a（x-h）²+k （a≠0），再把顶点为（ $\text{[math]}$ ，-4）代入，即可求出结果．
（2）①本题需先根据第一个求出的抛物线，再把交点C的坐标代入，求出直线AC的解析式，由此再得出直线AD的解析，再解出D点的坐标，根据且S_△ABD：S_△ABE=5：8的关系，解出点E的坐标即可．
②本题首先设P点的坐标，求出M点的坐标，再得出PM的解析式，从而得出PM的最大值即可．
点评：本题主要考查了二次函数的综合应用问题，在解题时要注意知识的综合运用，找出必要的条件，是解题的关键，遇到这样的题要考虑问题全面，做到不重不漏．