如图1.将一副直角三角板放在同一条直线AB上.其中∠ONM=30°.∠OCD=45°．(1)将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置.使得点O与点N重合.CD与MN相交于点E.求∠CEN的度数,(2)将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转.使一边OD在∠MON的内部.如图3.且OD恰好平分∠MON.CD与MN相交于点E.求∠CEN的度数,(3)将图1中的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．

（1）将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数；
（2）将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数；
（3）将图1中的三角尺OCD绕点O按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第

5或17

秒时，边CD恰好与边MN平行；在第

11或23

秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．（直接写出结果）

分析：（1）根据三角形的内角和定理可得∠CEN=180°-∠DCN-∠MNO，代入数据计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义求出∠DON=45°，利用内错角相等两直线平行求出CD∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；
（3）①分CD在AB上方时，CD∥MN，设OM与CD相交于F，根据两直线平行，同位角相等可得∠OFD=∠M=60°，然后根据三角形的内角和定理列式求出∠MOD，即可得解；CD在AB的下方时，CD∥MN，设直线OM与CD相交于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠DFO=∠M=60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠DOF，再求出旋转角即可；②分CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠CGN，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CON，再求出旋转角即可，CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠NGD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠AOC，然后求出旋转角，计算即可得解．

解答：解：（1）在△CEN中，
∠CEN=180°-∠DCN-∠MNO
=180°-45°-30°
=105°；

（2）∵OD平分∠MON，
∴∠DON=

∠MPN=

×90°=45°，
∴∠DON=∠D=45°，
∴CD∥AB，
∴∠CEN=180°-∠MNO=180°-30°=150°；

（3）如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于F，

∵CD∥MN，
∴∠OFD=∠M=60°，
在△ODF中，∠MOD=180°-∠D-∠OFD，
=180°-45°-60°，
=75°，
∴旋转角为75°，
t=75°÷15°=5秒；
CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F，
∵CD∥MN，
∴∠DFO=∠M=60°，
在△DOF中，∠DOF=180°-∠D-∠DFO=180°-45°-60°=75°，
∴旋转角为75°+180°=255°，
t=255°÷15°=17秒；
综上所述，第5或17秒时，边CD恰好与边MN平行；
如图2，CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGC=90°-∠MNO=90°-30°=60°，

∴∠CON=∠NGC-∠OCD=60°-45°=15°，
∴旋转角为180°-∠CON=180°-15°=165°，
t=165°÷15°=11秒，
CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGD=90°-∠MNO=90°-30°=60°，
∴∠AOC=∠NGD-∠C=60°-45°=15°，
∴旋转角为360°-∠AOC=360°-15°=345°，
t=345°÷15°=23秒，
综上所述，第11或23秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
故答案为：5或17；11或23．

点评：本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质并熟悉三角板的度数特点是解题的关键．