Question

已知a²+ab-b²=0，且a，b均为正数，先化简下面的代数式，再求值：

a2-b2

(b-a)(b-2a)

+

2a2-ab

4a2-4ab+b2

．

Answer 1

分析：欲求值，但a、b的具体值未知，故化简后也不能直接代入．可以把a²+ab-b²=0看成是关于a的一元二次方程，用公式法求得a=

-b± b2+4b2

2

=

-b± 5 b

2

．又因为a，b均为正数，所以只取a=

5 -1

2

b，即2a=（

5

-1）b．最后可以采取整体代换的方法求值．

解答：解：∵

a2-b2

(b-a)(b-2a)

+

2a2-ab

4a2-4ab+b2

=

(a+b)(a-b)

(a-b)(2a-b)

+

a(2a-b)

(2a-b)2

=

a+b

2a-b

+

a

2a-b

=

2a+b

2a-b

，

解法一：∵a²+ab-b²=0，
∴a=

-b± b2+4b2

2

=

-b± 5 b

2

，
∵a，b均为正数，
∴只取a=

5 -1

2

b，∴2a=（

5

-1）b，
∴原式=

( 5 -1)b+b

( 5 -1)b-b

=

5

5 -2

=

5 ( 5 +2)

( 5 -2)( 5 +2)

=5+2

5

；

解法二：∵a²+ab-b²=0，且a，b均为正数，
∴（

a

b

）²+（

a

b

）-1=0，∴

a

b

=

-1± 5

2

（负值舍去），
∴

a

b

=

-1+ 5

2

，
∴原式=

2• a b +1

2• a b -1

=

-1+ 5 +1

-1+ 5 -1

=5+2

5

．

点评：本题为分式的化简求值题，但难点却在求a的值上，需要灵活运用公式法解一元二次方程．