Question

圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作∠AOB=（如图①）；
圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等于它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”，
记作∠AOB=（弧AB的度数+弧CD的度数）（如图①）
请回答下列问题：
（1）如图②，猜测∠APB与、有怎样的等量关系，并说明理由；
（2）如图③，猜测∠APB与、有怎样的等量关系，并说明理由．
（提示：“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用）

Answer 1

【答案】分析：（1）过O点分别作EF∥AC，MN∥BD交⊙0于E、F、M、N，根据“圆心角度数等于它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”，以及在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可证得∠APB=．
（2）过O点分别作EF∥AC，MN∥BD交⊙O于E、F、M、N，根据“圆心角度数等于它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”，以及在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可证得）∠APB=（-）．
解答：解：（1）∠APB=．
理由如下：
过O点分别作EF∥AC，MN∥BD交⊙O于E、F、M、N，
∴∠APB=∠EOM，

∴=
∵∠EOM=
∴∠APB=．

（2）∠APB=（-）．
理由如下：
过O点分别作EF∥AC，MN∥BD交⊙O于E、F、M、N，
∴∠APB=∠EOM，

∴=，
∵∠EOM=，
∴∠APB=（-）．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了两条平行弦所夹的弧相等．