Question

已知：如图，在△ABC中，D为A月边上一点，∠A＝36°，AC＝BC，AC²＝AB·AD．

(1)试说明：△ADC和△BDC都是等腰三角形，

(2)若AB＝1，求AC的长，

(3)试构造一个等腰梯形，要求该梯形连同它的两条对角线所形成的8个三角形中有尽可能多的等腰三角形．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在△ABC中，AC＝BC，∠A＝36°，∴∠B＝∠A＝36°，∠ACB＝108°…………1分 　　在△ABC与△CAD中，∠A＝∠B＝36°． 　　∵AC2＝AB·AD，∴． 　　∴△ABC∽△CAD．……………………………3分 　　∴∠ACD＝∠B＝36°． 　　∴∠CDB＝72°，∠DCB＝108°－36°＝72°． 　　∴△ADC和△BDC都是等腰三角形．……………………5分 　　(2)设AC＝x，则AD＝1－BD＝1－BC＝1－2x 　　∴x2＝1×(1－x)，即x2＋x－1＝0．解得(舍去)． 　　∴………………………………………………………………8分 　　(3)说明：按照画出的梯形中，有4个，6个和8个等腰三角形三种情况分类得分． 　　①有4个等腰三角形，得1分； 　　②有6个等腰三角形，得2分； 　　③有8个等腰三角形，得4分．