Question

【题目】如图，是⊙的直径，是⊙的一条弦，，的延长线交⊙于点，交的延长线于点，连接，且恰好∥，连接交于点，延长交于点，连接．

（1）求证：是⊙的切线；

（2）求证：点是的中点；

（3）当⊙的半径为时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）=．

【解析】

（1）根据∥，可证FA⊥AB，则可得是⊙的切线；

（2）连接，易证△GEA∽△GAB，可得，根据∥，可得，即有，可证点是的中点；

（3）利用∥，得：，易证DE=BH，根据点O是CE中点，点H是CD的中点，得，有OH=2，CH=，可求得=tan∠OCH =.

（1）证明：∵是⊙的直径，是⊙的一条弦，

∴AB⊥CD，又∥，

∴FA⊥AB，

∴是⊙的切线.

（2）证明：连接，

∵是⊙的直径，

∴AE⊥BG．又FA⊥AB，

∴∠GEA=∠GAB，

又∵∠GBA=∠ABG.

∴△GEA∽△GAB，

∴

∵∥，

∴∠C=∠EFG，又∠C=∠FBE．

∴∠EFG=∠FBG，又∠FGE=∠BGF.

∴△EFG∽△FBG，

∴

，

∴点是的中点；

（3）解：∵∥，∴．

又∵GF=GA，∴DP=HP.

又∵CE是⊙的直径，D在圆上∴CD⊥DE，

又∵AB⊥CD于点H，

∴点H是CD的中点，AB∥DE，

又∵DP=HP，

∴DE=BH，

又∵点O是CE中点，点H是CD的中点，

∴

又∵⊙的半径为6，

∴OH=2，CH=，

∴=tan∠OCH =