题目内容

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，DE：BC=1：3．若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度在射线BC上运动．当点F运动时间t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，射线GE与射线BC相交于点H． AB与GH相交于点O．请解答下列问题：
（1）设△AEG的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（2）当t为多少秒时，AB⊥GH；
（3）求△GFH的面积．

解：（1）设BF=t
由DE：BC=1：3，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
而GA∥BC可得△ADG∽△BDF
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴AG= $\text{[math]}$ BF= $\text{[math]}$ t
∴S= $\text{[math]}$ AG•AE= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ t×2= $\text{[math]}$ t；

（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠OAE=45°
若AB⊥GH
则在△AOG、△AOE中，∵∠OGA=∠OAE=∠OEA=45°
∴AG=AE=2
∵已证AG= $\text{[math]}$ BF
∴BF=4
∴t=4
当t为4秒时，AB⊥GH；

（3）∵GA∥BH，∴△ADG∽△BDF，△AEG∽△CEH
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴BF=CH
∴FH=BC=6
∴S_△GFH= $\text{[math]}$ FH•AC= $\text{[math]}$ BC•AC= $\text{[math]}$ ×6×6=18．
分析：（1）△AEG的面积S等于AE与AG乘积的一半，而且△ADG∽△BDF，然后利用相似比即可写出S与t的函数关系式；
（2）当AB⊥GH时，AG=AE=2，根据（1）中结论即可算出t的值；
（3）利用相似三角形可证得BF=CH，所以S_△GFH= $\text{[math]}$ FH•AC= $\text{[math]}$ BC•AC．
点评：本题主要考查一次函数和相似三角形的综合应用．