Question

如果定义：“到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．”例如：如图1所示，若PC=PB，则称点P为△ABC的准外心． 

（1）观察并思考，△ABC的准外心有

 

个．
（2）如图2，△ABC是等边三角形，CD⊥AB，准外心点P在高CD上，且PD=

1

2

AB，在图中画出点P点，求∠APB的度数．
（3）已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心点P在AC边上，在图中画出P点，并求PA的长．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,等边三角形的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心，可得△ABC的准外心是：AB，BC，AC的垂直平分线上的点．
（2）连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数；
（3）先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解．

解答：解：（1）∵到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心，
∴△ABC的准外心是：AB，BC，AC的垂直平分线上的点．
∴△ABC的准外心有无数个．
故答案为：无数；

（2）①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，
∵CD为等边三角形的高，
∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，
∴PD=

3

3

DB=

3

6

AB，
与已知PD=

1

2

AB矛盾，∴PB≠PC，
②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC，
③若PA=PB，由PD=

1

2

AB，得PD=BD，
∴∠APD=45°，
∴∠APB=90°；

（3）∵BC=5，AB=3，
∴AC=

BC2-AB2

=4，
①若PB=PC，设PA=x，则x²+3²=（4-x）²，
∴x=

7

8

，即PA=

7

8

，
②若PA=PC，则PA=2，
③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能．
故PA=2或

7

8

．

点评：本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，读懂题意，弄清楚准外心的定义是解题的关键，根据准外心的定义，要注意分三种情况进行讨论．