Question

【题目】已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=9，BC=12．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交射线AB于点P．当△PQB为等腰三角形时，则AP的长为_______．

Answer 1

【答案】5或18

【解析】

当△PQB为等腰三角形时，有两种情况： ①当点P在线段AB上时，如题图1所示．由△AQP∽△ABC即可计算AP的长；②当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示，利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP．

∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠APQ=∠C．
∵∠A=∠A，
∴△APQ∽△ACB．

在Rt△ABC中，AB=9，BC=12，由勾股定理得：AC=15，
①当点P在线段AB上时，如题图1所示，
∵∠BPQ为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ．

∵△APQ∽△ACB，
∴，即，解得：PB=4，
∴AP=AB﹣PB=9-4=5；
②当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示，
∵∠QBP为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是BP=BQ，

∴∠BQP=∠P，
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，
∴∠AQB=∠A，
∴BQ=AB，
∴AB=BP，点B为线段AB中点，
∴AP=2AB=2×9=18．
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为5或18．

故答案是：5或18．