题目内容
【题目】（1）如图1，在四边形
中，
，
、
分别是
、
的中点，连接
并延长，分别与
、
的延长线交于点
、
，证明：
．
请将证明的过程填写完整：
证明：连接
，取的中点
，连接
、
．
是的中点，是的中点，
________，
_______，同理：
_______，
_______，
，
，
又
，
，
，
．
（2）运用上题方法解决下列问题：
问题一：如图2，在四边形
中，
与相交于点
，，、分别是、的中点，连接，分别交
、于点、，请判断
的形状，并说明理由；
问题二：如图3，在钝角
中，
，
点在
上，、分别是、的中点，连接并延长，与的延长线交于点
，连接
，若
，
是直角三角形且
，求证：．
【答案】（1）
；
；
；
；（2）△OMN为等腰三角形，理由见详解；（3）见详解
【解析】
（1）根据题目已知条件补充完整即可；
解：（1）证明：连接
，取的中点
，连接
、
．
是
的中点，是的中点，
，
，同理：
，
，
，
，
又
，
，
，
．
故答案为：；；；；
（2）△OMN为等腰三角形；
证明：取AC中点P，连接PF，PE，
可知PE=，PE∥AB，
∴∠PEF=∠ANF，
同理PF=，
PF∥CD，
∴∠PFE=∠CME，
又PE=PF，
∴∠PFE=∠PEF，
∴∠OMN=∠ONM，
∴△OMN为等腰三角形；
（3）如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，
∵F是AD的中点，
∴HF∥AB， HF=
同理，HE∥CD，HE=
∵GF为直角三角形斜边上的中线
∴
∵
∴△AGF是等边三角形
∴∠AGF=∠EFC=∠HFE=60°
∵
∴
∴
∴
．
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