Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠ADC=120°．
（1）求证：BD⊥DC；
（2）若AB=4，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件发现等腰三角形，根据等腰三角形的性质以及等腰梯形的性质即可求解；
（2）根据（1）中的结论分析求得该梯形的高，即可求得面积．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，∠ADC=120°，
∴∠C=60°．
又∵AB=DC=AD，
∴∠ABC=∠C=60°，∠ABD=∠ADB=∠DBC=30°，
∴∠BDC=90°，BD⊥DC．

（2）解：过D作DE⊥BC于点E，
在Rt△DEC中，
∵∠C=60°，AB=DC=4，
∴

DE

DC

=sin∠C=sin60°，
∴DE=2

3

，
在Rt△BDC中，

DC

BC

=sin30°，BC=2DC=8，
∴S_梯形=

1

2

（AD+BC）•DE=12

3

．

点评：考查等腰梯形的有关性质及综合推理能力．