Question

已知等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，将三角板中的90°角的顶点绕D点在△ABC内旋转，角的两边分别与AB、AC交于E、F，且点E、F不与A、B、C三点重合．

【小题1】如果∠A=90°求证：DE=DF
【小题2】如果DF//AB，则结论：“四边形AEDF为直角梯形”是否正确，若正确，请证明；若不正确，请画出草图举反例

Answer 1

【小题1】连接AD
∵AB=AC，D是BC的中点，∠A=90°
∴AD=DC,∠BAD=∠C,
∵∠ADC=90°,∠EDF=90°
∴∠EDA=∠FDC
∴△ADE≌△CDF 得到DE=DF………………………………4分
【小题2】结论不正确. 图略   ………………………………1分
反例如下：
取时，四边形ADEF为矩形，不是直角梯形。
DF//AB,
∴∠AED=90°            
当时，四边形ADEF为矩形，不是直角梯形。
∴结论不正确………………………………4分解析:
(1)根据等腰直角三角形的性质得到∠C=45°，中线AD平分∠BAC，并且AD=BC，则∠BAD=∠C，AD=DC，又∠EDA=∠CDF，根据全等三角形的判定易得到△ADE≌△CDF，然后根据全等三角形的性质即可得到结论．
(2)举出反例。