Question

    如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x²－7x＋12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒. 

 （1）（2分）求A、B两点的坐标. 

（2）（6分）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标. 

（3）（3分）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理。

Answer 1

解：（1）x2－7 x +12=0

        解得x1=3，x2=4            ----------------------------------------------------（1分）

         ∵OA＜OB       

 ∴OA=3 , OB=4

         ∴A(0,3) , B(4,0)         --------------------------------------------------（2分）

          

(2) 由题意得，AP=t,  AQ=5-2t

可分两种情况讨论：

    当∠APQ=∠AOB 时，△APQ∽△AOB

如图1     t/3 =( 5-2t)/5

          解得 t= 15/11         --------------------------------------------------（2分）  

     所以可得  Q（20/11 ，18/11 ）--------------------------------------------------（3分）

     当 ∠AQP=∠AOB 时， △APQ∽△ABO

     如图2    t/5 =( 5-2t)/3

         解得  t= 25/13         --------------------------------------------------（5分）

     所以可得  Q（12/13 ，30/13 ）--------------------------------------------------（6分）

（3） 存在   M1（4/5 ，22/5 ）， M2（4/5 ，2/5 ），M3（－4/5 ，8/5 ）----（3分）

说明：以上各题，如果有其它正确解法，可酌情给分.