Question

如图，在平面直角坐标系中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴的正半轴交于A、B两点，A在B的左侧，且OA、OB的长是方程x²-12x+27=0的两根，ON是⊙M的切线，N为切点，点N在第四象限．
（1）求⊙M的直径；
（2）求直线ON的解析式．

Answer 1

分析：（1）先根据题意得出方程x²-12x+27=0的两根，故可得出OA，OB的长，进而可得出AB的长；
（2）连接MN 过点N作NH⊥OM于点H，由切线的性质可知，MN⊥ON，在Rt△OMN中根据勾股定理求出ON的长，由OM•NH=ON•MN得出NH，OH的长，故可得出N点坐标，用待定系数法即可求出直线ON的解析式．

解答：解：（1）∵OA、OB的长是方程x²-12x+27=0的两根，即（x-3）（x-9）=0
∴x₁=3，x₂=9，
∴OA=3，OB=9，
∴AB=9-3=6，即⊙M的直径为6；

（2）连接MN 过点N作NH⊥OM于点H．
∵ON为⊙M的切线，
∴MN⊥ON，
在Rt△OMN中，
∵OM=6，MN=3，
∴∠MON=30°，ON=

62-32

=3

3

，
又∵OM•NH=ON•MN，
∴NH=

3 3 ×3

6

=

3 3

2

，OH=

9

2

，
∴N (

9

2

，-

3

2

3

)
设ON的解析式为y=kx（k≠0）
∴-

3 3

2

=

9

2

k，解得k=-

3

3

∴直线ON的解析式为：y=-

3

3

x．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到切线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，难度适中．