Question

我们给出如下定义：如图2所示，若一个四边形的两组相邻两边分别相等，则称这个四边形为筝形四边形，把这两条相等的邻边称为这个四边形的筝边．

(1)写出一个你所学过的特殊四边形中是筝形四边形的图形的名称________；

(2)如图1，已知格点(小正方形的顶点)O(0，0)，A(0，3)，B(3，0)，请你画出以格点为顶点，OA，OB为边的筝形四边形OAMB；

(3)如图2，在筝形ABCD，AD＝CD，AB＝BC，若∠ADC＝60°，∠ABC＝30°求证：2AB²＝BD²．

Answer 1

答案：
解析：

(1)正方形或菱形　1分 　　(2) 　　3分 　　(3)解法一： 　　证明：联结AC，以点B为顶点，以BC为一边做∠CBM＝60°，在MB上截取BE＝BA，联结CE、AE、BD　4分 　　则△ADC和△BCE为等边三角形 　　∴AC＝CD，BC＝CE，∠1＝∠2＝60° 　　∴∠1＋∠4＝∠2＋∠4 　　即：∠BCD＝∠ACE　5分 　　∴△BDC≌△ACE 　　∴AE＝BD　6分 　　在△ABE中，∠ABC＝30°　∠3＝60° 　　∴∠ABE＝90°　7分 　　∴AB2＋BE2＝AE2 　　∵BC＝BE，AE＝BD　∴AB2＋BC2＝BD2　8分 　　∵AB＝BC　∴　2AB2＝BD2　9分 　　解法2： 　　过点B作BE⊥CD，交CD延长线于点E，联结BD 　　在△ABD和△BCD中 　　∴△ABD≌△BCD 　　∴∠BDC＝∠ADC＝30°　∠DCB＝∠ABC＝15° 　　∴∠BCE＝45° 　　在Rt△BCE和Rt△DBE中，设BE＝x，则CE＝x， 　　由勾股定理得：BC＝CE＝x 　　∵AB＝BC　∴AB＝x 　　Rt△DBE中，∠BDC＝30° 　　由勾股定理得：BD＝2x 　　∴AB2＝2x2　BD2＝4x2 　　∴2AB2＝BD2 　　(其他解法可适当给分) 　　(说明：以上答案仅供参考，若有不同解法，只要过程和解法都正确，可相应给分)