如图.菱形ABCD中.对角线AC.BD相交于点O.AC=6.BD=8．点E为AD边上一动点.点F为CD边上一动点.且满足∠EOF=∠DAC.点E.F关于直线AC的对称点为G.H．(1)求证:△AOE∽△CFO,(2)若线段AE=x.四边形AGOE与四边形CHOF的面积和为S．①求S关于x的函数表达式.并写出自变量x的取值范围,②当S=$\frac{72}{5}$时.线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．

如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=8．点E为AD边上一动点，点F为CD边上一动点，且满足∠EOF=∠DAC，点E、F关于直线AC的对称点为G、H．
（1）求证：△AOE∽△CFO；
（2）若线段AE=x，四边形AGOE与四边形CHOF的面积和为S．
①求S关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
②当S=$\frac{72}{5}$时，线段EF的长．

分析（1）根据菱形的性质得到AD=CD得到∠DAC=∠DCA，根据三角形的内角和和平角的定义得到∠FOC=∠AEO，于是得到结论；
（2）根据菱形的性质得到AO=3，BO=4，由勾股定理得到AD=CD=5，过O作OM⊥AD，ON⊥CD，根据三角形的面积公式得到OM=ON=$\frac{12}{5}$，根据相似三角形的性质得到CF=$\frac{9}{x}$，根据轴对称的性质得到S_△AOG=S_△AOE，S_△COH=S_△COF，于是得到结论；②当S=$\frac{72}{5}$时，求得x=3，得到AE=CF=3，DE=DF=2，根据相似三角形的判定和性质即刻得到结论．

解答（1）证明：在菱形ABCD中，
∵AD=CD
∴∠DAC=∠DCA，
∵∠EOF=∠DAC，
∴∠AEO=180°-∠EAO-∠AOE，∠FOC=180°-∠AOE-∠EOF，
∴∠FOC=∠AEO，
∴△AOE∽△CFO；

（2）解：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=8，
∴AO=3，BO=4，
∴AD=CD=5，
过O作OM⊥AD，ON⊥CD，
∴OM=ON=$\frac{12}{5}$，
∵△AOE∽△CFO，
∴$\frac{AE}{OC}=\frac{AO}{CF}$，
∴CF=$\frac{9}{x}$，
∵点E、F关于直线AC的对称点为G、H，
∴S_△AOG=S_△AOE，S_△COH=S_△COF，
∵①S_△AOE=$\frac{6}{5}$x，S_△COF=$\frac{54}{5x}$，
∴S=$\frac{12}{9}$（$\frac{9}{x}$+x）（$\frac{9}{5}≤x≤5$），
②当S=$\frac{72}{5}$时，x=3，
∴AE=CF=3，DE=DF=2，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{DF}{CD}$，∠ADC=∠EDF，
∴△DEF∽△ADC，
∴$\frac{EF}{6}=\frac{2}{5}$，
∴EF=$\frac{12}{5}$．