Question

已知：如图，△ABC为等边三角形，AB=4

3

，AH⊥BC，垂足为点H，点D在线段HC上，且HD=2，点P为射线AH上任意一点，以点P为圆心，线段PD的长为半径作⊙P，设AP=x．
（1）当x=3时，求⊙P的半径长；
（2）如图1，如果⊙P与线段AB相交于E、F两点，且EF=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△PHD与△ABH相似，求x的值（直接写出答案即可）．

Answer 1

分析：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=4

3

，∠B=60°．又∵AB=4

3

，AH⊥BC，∴AH=AB•sin∠B=4

3

×

3

2

=6．即得PH=AH-AP=6-x=3．利用勾股定理即可证明；
（2）过点P作PM⊥EF，垂足为点M，连接PE．在Rt△PHD中，HD=2，PH=6-x．利用勾股定理求出PD，然后在Rt△PEM中，由勾股定理得PM²+EM²=PE²．从而可求出答案；
（3）△PHD与△ABH相似，则有

AH

HD

=

BH

PH

，代入各线段的长短即可求出x的值．

解答：解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=4

3

，∠B=60°．
又∵AB=4

3

，AH⊥BC，
∴AH=AB•sin∠B=4

3

×

3

2

=6．
即得PH=AH-AP=6-x=3．
在Rt△PHD中，HD=2，
利用勾股定理，得PD=

PH2+DH2

=

32+22

=

13

．
∴当x=3时，⊙P的半径长为

13

．

（2）过点P作PM⊥EF，垂足为点M，连接PE．
在Rt△PHD中，HD=2，PH=6-x．
利用勾股定理，得PD=

PH2+DH2

=

(6-x)2+4

．
∵△ABC为等边三角形，AH⊥BC，
∴∠BAH=30°．即得PM=

1

2

AP=

1

2

x．
在⊙P中，PE=PD．
∵PM⊥EF，P为圆心，
∴EM=

1

2

EF=

1

2

y．
于是，在Rt△PEM中，由勾股定理得PM²+EM²=PE²．
即得

1

4

x2+

1

4

y2=(6-x)2+4．
∴所求函数的解析式为y=

3x2-48x+160

，
定义域为

10

3

≤x＜

24-4 6

3

．

（3）∵①△PHD∽△ABH，则有

AH

HD

=

BH

PH

，

6

2

=

2 3

PH

，
解得：PH=

2 3

3

，
∴x=AP=6-

2 3

3

，
当P在AH的延长线上时，x=6+

2 3

3

；
②当△PHD∽△AHB时，

AH

AB

=

HD

BH

，
即

6

PH

=

2 3

2

，
解得：PH=2

3

，
∴x=AP=6-2

3

，
当P在AH的延长线上时，x=6+2

3

；
x=6-2

3

，x=6-

2 3

3

，x=6+

2 3

3

，x=6+2

3

．

点评：本题考查了相似三角形及等腰三角形的判定与性质，难度较大，关键是掌握相似三角形的性质及勾股定理的运用．