Question

已知：正方形的边长为1．
（1）如图1，可以算出一个正方形的对角线的长为，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，并猜想出n个正方形并排拼成的矩形的对角线；
（2）根据图2，求证：△BCE∽△BED；
（3）由图3，在下列所给的三个结论中，选出一个正确的结论加以证明：
①∠BEC+∠BDE=45°；
②∠BEC+∠BED=45°；
③∠BEC+∠DFE=45°．

Answer 1

解：（1）如图1所示：
∵两个正方形拼成的矩形的长AC=2，宽AE=1
∴此时对角线EC===
∴同理，n个正方形组成的矩形的长为n，宽为1，
对角线长为．

（2）如图2所示，由题意可得：BE=，BD=2，BC=1
∴==．
又∵∠CBE=∠EBD，
∴△BCE∽△BED．

（3）证明：②∠BEC+∠BED=45°．
由（2）证明出：△BCE∽△BED，
∴∠BEC=∠BDE．
由平行线定理可知：∠BDE=∠DEF，
∴∠BEC+∠BED=∠BDE+∠BED=∠DEF+∠BED=∠BEF=45°成立．
分析：（1）由于是矩形，其对角线与两边恰好构成直角三角形，利用勾股定理便可以求对角线的长．
（2）利用三角形的相似的判定定理就可求证．
（3）利用相似性求出相等的角，代替要求的角看是否正确．
点评：此题主要考查判定三角形的相似和利用相似三角形的性质求解．