Question

【题目】边长为整数的直角三角形，若其两直角边边长是方程x2-(k+2)x+4k=0的两根，求k的值，并确定直角三角形三边之长。

Answer 1

【答案】当k=15时，三角形三边的长为：5，12，13．当k=12时，三角形三边的长为：6，8，10．

【解析】

根据方程的根为整数，得到根的判别式为平方数，然后进行讨论求出k值，得到三角形三边的长．

设直角边为a，b（a<b），则a+b=k+2，ab=4k，因为方程的根为整数，故△=（k+2）2-16k为完全平方数。

设(k+2)2-16k=n2∴k2-12k+4=n2∴(k-6)2-n2=32

∴(k+n-6)(k-n-6)=1×32=2×16=4×8

∵k+n-6>k-n-6

∴ , ,.

解得(舍去)，k2=15,k3=12

当k2=15时，a+b=17，ab=60，

∴a=15， b=12， c=13；

当k=12时，a+b=14，ab=48，

∴a=6，b=8，c=10．

∴当k=15时，三角形三边的长为：5，12，13．

当k=12时，三角形三边的长为：6，8，10．