Question

如图，在?ABDO中，已知A、D两点的坐标分别为A（

3

，

3

），D（2

3

，0）．将?ABDO向左平移

3

个单位，得到四边形A′B′D′O′．抛物线C经过点A′、B′、D′．
（1）在图中作出四边形A′B′D′O′，并写出它的四个顶点坐标；
（2）在抛物线C上是否存在点P，使△ABP的面积恰好为四边形A′B′D′O′的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）平行四边形整体向左平移，因此四点的横坐标都加减去

3

即可得出平移后平行四边形四顶点的坐标．
（2）先根据A′、B′、D′的坐标求出抛物线的解析式．然后求出平行四边形的面积，即可得出三角形ABP的面积，AB的长已知，那么可据此求出P点到AB的距离，也就能求出P点的纵坐标，将其代入抛物线解析式中即可求出P点的坐标．

解答：解：（1）作出平移后的四边形A′B′D′O′，
顶点坐标分别为A′（0，

3

）、B′（2

3

，

3

）、D′（

3

，0）、O′（-

3

，0）．


（2）由题意可设抛物线C的解析式为y=ax²+bx+

3

，
则

3 =a•(2 3 )2+b•2 3 + 3 0=a•( 3 )2+b• 3 + 3

，
解得a=

3

3

，b=-2．
∴抛物线C的解析式为y=

3

3

x²-2x+

3

．
∵四边形A′B′D′O′是平行四边形，
∴它的面积为O′D′×OA′=2

3

×

3

=6．
假设存在点P，则△ABP的面积为3．
设△ABP的高为h，则

1

2

×AB×h=

1

2

×2

3

×h=3，
得h=

3

．
即点P到AB的距离为

3

，
∴P点的纵坐标为0或2

3

．
∴当P的纵坐标为0时，即有0=

3

3

x²-2x+

3

，
解得x₁=x₂=

3

．
当P的纵坐标为2

3

时，即有2

3

=

3

3

x²-2x+

3

，
解得x=

3

-

6

，x=

3

+

6

．
因此存在满足条件的点P，坐标为（

3

，0），（

3

-

6

，2

3

），（

3

+

6

，2

3

）．

点评：本题着重考查了平行四边形的性质、待定系数法求二次函数解析式、图形面积的求法等知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．