Question

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③9a+3b+c＞0，④方程ax²+bx+c=0的解是-2和4，⑤不等式ax²+bx+c＞0的解集是-2＜x＜4，其中正确的结论有（　　）

• A、2个
• B、3个
• C、4个
• D、5个

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴为x=-

b

2a

=1得到b=-2a＜0，所以2a+b=0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，所以abc＞0；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴另一个交点为（4，0），所以当x=3时，y＜0，即9+3b+c＜0；且ax²+bx+c=0的解是-2和4；观察函数图象得到当x＜-2或x＞4时，y=ax²+bx+c＞0．

解答：解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为x=-

b

2a

=1
∴b=-2a＜0，即2a+b=0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（-2，0），对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴另一个交点为（（4，0），
∴当x=3时，y＜0，即9+3b+c＜0，所以③错误；
∴ax²+bx+c=0的解是-2和4，所以④正确；
当x＜-2或x＞4时，y=ax²+bx+c＞0，所以⑤错误．
故选B．

点评：本题考查了二次函数与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．