Question

【题目】已知：如图，AB是⊙O的直径，D是弧AC的中点，弦AC与BD相交于点E，AD=，DE=2．

（1）求直径AB的长；

（2）在图2中，连接DO，DC，BC．求证：四边形BCDO是菱形；

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析. （3）①S=﹣m2﹣4m﹣3；

【解析】试题分析：⑴ 根据弧相等说明弧所对的圆周角也相等，进而证得△ ADE∽△ BDA，再根据对应边的比例关系可求得BD的长，那么在△ABD中，运用勾股定理，即可求得AB的长.

⑵ 由边角关系，可知∠ ABD=30°，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等和等角对等边，可得CD=BC，进而可证OB=OD=BC=CD，所以四边形BCDO是菱形.

试题解析：（1）∵ D是弧AC的中点，

∴ ∠ DAC=∠ B，

∵∠ ADE=∠ BDA，

∴ △ ADE∽ △ BDA，

∴ =，

∴ BD===6，

∵ AB是⊙ O的直径，

∴ ∠ ADB=90°．

在Rt△ ABD中，由勾股定理，得AB===4．

（2）∵ 在Rt△ ABD中，AB=4，AD=2，

∴ AB=2AD，

∴ ∠ ABD=30°，∠ DAB=60°，

∴ ∠ ABD=∠ DAC=∠ CAB=30°，

∴ CD=BC，

∵ 在Rt△ ABC中，∠ CAB=30°，

∴ AB=2BC，

∴ OB=OD=BC=CD，

∴ 四边形BCDO是菱形．