题目内容
【题目】正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF．
（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E．
①求证：DF=EF；
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系；并说出理由；
（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）
【答案】（1）①证明见解析；②PC=
CE+PA；（2）结论成立.
【解析】整体分析：
(1)连接PD，通过△BCP≌△DCP证得∠PBC=∠PDC，由四边形PBCE的内角得到∠PED=∠PBC，即可证PD=PE，由等腰三角形的“三线合一”即可；(2)延长FP交AB于点G，由PC与CF的关系，结合EF=DF=AG逐渐转化得到这三条线段间的数量关系；(3)根据题意画出图形，对比(2)中的结论求解.
解：(1)①连接PD，
∵四边形ABCD是正方形，AC平分∠BCD，CB=CD，△BCP≌△DCP，
∴∠PBC=∠PDC，PB=PD
∵PB⊥PE，∠BCD=90°，
∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°，
∴∠PED=∠PBC=∠PDC，∴PD=PE，
∵PF⊥CD，∴DF=EF
②PC=
CE+PA，理由如下：
延长FP交AB于点G，则四边形ADFG是矩形，∴AG=DF.
∵△AGP是等腰直角三角形，∴AG=
AP.
∵△FCP是等腰直角三角形，
∴CP=
CF=
(CE+EF)
=
(CE+DF)= 
(CE+AG)
=
(CE+
AP)
=
CE+PA.
(3)结论①成立，结论②不成立，此时②中的三条线段之间的数量关系为PA=
CE+PC.
