Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=2，BC=8，∠MEN=∠B．∠MEN的顶点E在边BC上移动，一条边始终经过点A，另一边与CD交于点F，连接AF．
（1）设BE=x，DF=y，试建立y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；
（2）若△AEF为等腰三角形，求出BE的长．

Answer 1

解：（1）∵AB=DC=5，∴∠B=∠C
而∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠FEC
∵∠AEF=∠B，∴∠BAE=∠FEC
∴△ABE∽△ECF
∴即
∴（0≤x≤8）；

（2）分别过A、D作AG、DH垂直于BC分别交于点G、H可推得cos，
①若AE=AF，则有cos=cos，即
∵△ABE∽△ECF，∴=，即=，解得x=2，
②若AF=FE，同理有=，解得x=，
③若AE=EF，同理有5=8-x，解得x=3；
∵0，
∴BE的长为2，3，．
分析：（1）由等腰梯形的性质得，∠B=∠C，由外角的性质得，∠BAE=∠FEC，则△ABE∽△FEC，则即，
从而得出（0≤x≤8）；
（2）分别过A、D作AG、DH垂直于BC分别交于点G、H，则cos，
然后分三种情况求解即可，
①若AE=AF，过点A作AG⊥EF，则=，即=，解得x=2，
②若AF=FE，同理有=，解得x=，
③若AE=EF，同理有5=8-x，解得x=3；再根据x的取值范围，得出答案．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质．