Question

(10分) 把一副三角板按如图甲放置，其中，，，斜边AB=12cm，DC=14cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D₁CE₁（如图乙）．这时AB与CD₁相交于点O、与D₁E₁相交于点F．
【小题1】（1）求的度数；
【小题2】（2）求线段的长；
【小题3】（3）若把三角形绕着点顺时针再旋转30°得△，这时点B在△的内部、外部、还是边上？说明理由．

Answer 1

【小题1】（1）120°
【小题2】（2）10cm
【小题3】（3）内部，理由：略

解析考点：旋转的性质；勾股定理；等腰直角三角形．
分析：（1）根据OFE₁=∠B+∠1，易得∠OFE₁的度数；
（2）在Rt△AD₁O中根据勾股定理就可以求得AD₁的长；
（3）设BC（或延长线）交D₂E₂于点P，Rt△PCE₂是等腰直角三角形，就可以求出CB的长，判断B在△D₂CE₂内．

解：（1）如图所示，∠3=15°，∠E₁=90°，
∴∠1=∠2=75°，
又∵∠B=45°，
∴∠OFE₁=∠B+∠1=45°+75°=120°；
（2）∵∠OFE₁=120°，
∴∠D₁FO=60°，
∵∠CD₁E₁=30°，
∴∠4=90°，
又∵AC=BC，∠A=45°
即△ABC是等腰直角三角形．
∴OA=OB=AB=3cm，
∵∠ACB=90°，
∴CO=AB=×6=3cm，
又∵CD₁=7cm，
∴OD₁=CD₁-OC=7-3=4cm，
在Rt△AD₁O中，AD₁===5cm；
（3）点B在△D₂CE₂内部，
理由如下：设BC（或延长线）交D₂E₂于点P
则∠PCE₂=15°+30°=45°，
在Rt△PCE₂中，CP=CE₂=，
∵CB=3＜，即CB＜CP，
∴点B在△D₂CE₂内部．