Question

某市举行中学生足球联赛，共赛17场（每队均需参加17场比赛）记分办法是场-胜3分，平一场1分，负一场0分．
（1）在这次足球比赛中，若小虎足球队平场与负场相同，共积16分，求该队胜了几场？
（2）在这次足球比赛中，若小虎队总积分仍为16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，试推算小虎足球队最少负了几场？

Answer 1

分析：（1）设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了y场，依题意列出方程组，求解即可；
（2）依题意建立方程组，解方程组从而用k（整数）表示负场数z=

35

2k+3

，因为z为整数，即2k+3为35的正约分，
∴2k+3=1，5，7，35当2k+3=1时，k不是整数，舍去，
当2k+3=5时，k=1，z=7；
当2k+3=7时，k=2，z=5；
当2k+3=35时，k=16，z=1．
因此足球队最少负了1场．

解答：解：设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了y场，依题意得

x+2y=17 3x+y=16

，解得

x=3 y=7

即该球队胜了3场．
（2）设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意得

x+y+z=17①   3x+y=16  ② y=kz  ③

，
把③代入①②得

x+(k+1)z=11 3x+kz=16

，
解得z=

35

2k+3

（k为整数）．
又∵z为正整数，
∴当k=1时，z=7；
当k=2时，z=5；
当k=16时，z=1．
∴小虎足球队最少负了1场．
答：（1）该队胜了3场；
（2）小虎足球队最少负了1场．

点评：（1）设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了y场，依题意列出方程组即可；
（2）根据（1）中所设的未知数列出方程组，用k表示出z的值，根据z为整数，即可分类讨论出z的值．
解答（2）的方程组是个难点，用了换元法．