Question

【题目】如图，在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，BC＝BD，点A在CB的延长线上，且BA＝BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．

（1）试求证图（1）中：∠BAE＝∠DEF；

（2）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：AE＝EF；

（3）当点E在直线BD上移动时，在图（2）与图（3）中，分别猜想线段AE与EF有怎样的数量关系，并就图（3）的猜想结果说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AE＝EF，理由见解析.

【解析】

(1)由∠AEB+∠A＝90°和∠AEB+∠FED＝90°即可得到结论.
(2)如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE.构造全等三角形即可解决问题；
(3)如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证；如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE.同法可证.

（1）证明：∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，点A在CB的延长线上，

∴∠ABD＝90°，

∴∠AEB+∠A＝90°，

∵EF⊥EA，

∴∠AEB+∠FED＝90°，

∴∠BAE＝∠DEF；

（2）证明：如图1中，在BA上截取BH，使得BH＝BE．

∵BC＝AB＝BD，BE＝BH，

∴AH＝ED，

∵∠AEF＝∠ABE＝90°，

∴∠AEB+∠FED＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，

∴∠FED＝∠HAE，

∵∠BHE＝∠CDB＝45°，

∴∠AHE＝∠EDF＝135°，

∴△AHE≌△EDF（AAS），

∴AE＝EF．

（3）解：如图2中，在BC上截取BH＝BE，同法可证：AE＝EF，

如图3中，延长BA至点H，使得BH＝BE．同法可证：AE＝EF．