Question

如图，已知边长为4的正方形ABCD，E为BC的中点，连接AE、DE，BD、AE交BD于F，连接CF交DE于G，P为DE的中点，连接AP、FP，下列结论：①DE⊥CF；②S四边形CDFE=

20

3

；③∠EAP=30°；④△FGP为等腰直角三角形．
其中正确结论的个数有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：根据已知得出首先证明△ABF≌△CBF，得出∠FCB=∠EDC，进而求出∠EGC=90°，再利用△CFM∽△PEQ，得出FM=

4

3

，进而求出S_△BCD-S_△BFE的面积即可得出答案，再利用等腰直角三角形的知识分析得出答案．

解答：解：作FM⊥BC，
∵∠ABF=∠FBC=45°，
AB=BC，BF=BF，
∴△ABF≌△CBF，
∴∠BAF=∠BCF，
∵边长为4的正方形ABCD，E为BC的中点，
∴AB=CD，BE=CE，∠ABE=∠DCE，
∴△ABE≌△DCE，
∴∠BAE=∠EDC，
∴∠FCB=∠EDC，
∵∠DEC+∠EDC=90°，
∴∠DEC+∠BCF=90°
∴∠EGC=90°，
∴DE⊥CF，故①DE⊥CF正确；
∵△CFM∽△PEQ，
∴

FM

EQ

=

MC

PQ

，
∵MC=4-BM，BM=FM，PQ=2，EQ=1，
∴FM=

4

3

，
∴S_△BCD-S_△BFE=8-

1

2

×2×

4

3

=

20

3

；故②S四边形CDFE=

20

3

正确；
∵S四边形CDFE=

20

3

，
∴

1

2

CF×DE=

1

2

×2

5

×CF=

20

3

，
∴CF=

4 5

3

，
∵∠EGC=∠ECD=90°，∠GEC=∠GEC，
∴△CEG∽△DEC，
∴

EC

DE

=

EG

EC

=

CG

CD

，
∵边长为4的正方形ABCD，E为BC的中点，
∴EC=2，DE=2

5

，
∴

2

2 5

=

CG

4

=

EG

2

，
∴EG=

2 5

5

，CG=

4 5

5

，
∴FG=

8 5

15

，PG=

5

-

2 5

5

=

3 5

5

，
∴FG≠PG，
∴根据已知可得∠FPG≠∠PFG，
∴④△FGP为等腰直角三角形错误．
∵P为DE的中点，
∴PE=DP=

5

，
∴BE=EC=2，AB=CD，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，
∴△AED为等腰三角形不是等边三角形，
∵P为DE的中点，
∴AP不垂直于DE，
∵

PE

AE

=

1

2

，
∴∠EAP≠30°，故③不正确；
其中正确结论的个数有2个，
故选：B．

点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及全等三角形的判定的知识，重点在于对三角形各个性质的理解．主要用到的有中点，中位线的性质．