Question

24、如图，在等腰梯形AECD中，AE∥DC，∠DAE=60°，点B是AE的中点，AC⊥CE．
求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析：根据等腰梯形同一底上的角相等，可得∠DAB=∠E=60°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AB=BC=BE，则易得四边形ABCD是平行四边形，即可得四边形ABCD是菱形．

解答：证明：∵四边形AECD是等腰梯形，
∴∠DAB=∠E=60°，（3分）
∵AC⊥CE，点B是AE的中点，
∴AB=BC=BE，（6分）
∴∠CBE=∠DAB=60°，（8分）
∴AD∥BC，（9分）
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，（11分）
又AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．（13分）
此题方法很多，添加辅助线也可，如图，只要有理有据，相应给分即可．

证法2：连接BD，（1分）
∵四边形AECD是等腰梯形，
∴∠DAB=∠E=60°，（3分）
∵AC⊥CE，点B是AE的中点，
∴AB=BC=BE，（6分）
∴△CBE是等边三角形．
∵AD=EC，
∴△ABD是等边三角形．（9分）
同理，由BD=BC，∠DBC=60°得△DBC是等边三角形，（11分）
∴AB=BC=CD=AD．
∴四边形ABCD是菱形．（13分）
（也可以证对角线互相垂直+平行四边形）

证法3：设线段AD和EC的延长线交于点F．（1分）
∵四边形AECD是等腰梯形，∠DAB=60°，
∴△AEF是等边三角形，（4分）
∵CE⊥AC，
∴FG=CE．（6分）
∵点B是AE的中点，
∴BC是△AEF的中位线且AB=BC=BE，
∴AD∥BC．（9分）
∵DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，（11分）
又AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．（13分）
（也可以证四边相等）

点评：此题考查了等腰梯形的性质（等腰梯形同一底上的角相等）与直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）以及菱形的判定．解题时注意审题，选择适宜自己的解题方法．