如图所示.已知E是边长为a的正方形ABCD对角线BD上一动点.点E从B点向D点运动.过点E作直线GH平行于BC.交AB于点G.交CD于点H.EF⊥AE于点E.交CD于点F．.请写出图中所有的全等三角形,(2)点E在运动的过程中.四边形AFHG的面积是否发生变化?请说明理由,(3)若a=2+2.在(2)运动过程中.设AF与BD交于M点.则BE=2或2+12或2+1时.△AEM是等腰三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2012•本溪二模）如图所示，已知E是边长为a的正方形ABCD对角线BD上一动点，点E从B点向D点运动（与B、D不重合），过点E作直线GH平行于BC，交AB于点G，交CD于点H，EF⊥AE于点E，交CD（或CD的延长线）于点F．
（1）如图（1），请写出图中所有的全等三角形（不必证明）；
（2）点E在运动的过程中（如图（1）、图（2），四边形AFHG的面积是否发生变化？请说明理由；
（3）若a=2+

，在（2）运动过程中，设AF与BD交于M点，则BE=

或

时，△AEM是等腰三角形．

分析：（1）根据正方形的性质就可以得出△ABD≌△CBD，△AGE≌△EHF；
（2）由△AGE≌△EHF可以得出GE=HF=GB，AG=EH．根据直角梯形就可以求出四边形AFHG的面积，而得出结论；
（3）如图3，当AE=AM时作AN⊥BD于N，设GE=x，则GB=x，由等腰三角形的性质就可以得出GE=NE，由条件建立方程求出其解即可；如图4，当AE=ED时，∠AED=90°，就可以得出BE=

BD，由勾股定理求出BD即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90．∠ABD=∠CBD=∠ADC=∠CDB=45°．
在△ABD和△CDB中，

AB=BC

AD=CD

BA=BD

，
∴△ABD≌△CDB（SSS）．
∵GH∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=90°，∠DHC=∠C=90°，∠GEB=∠EBC=45°，
∴∠BGC=90°．∠GAE+∠GEA=90°，∠GBE=∠GEB，∠AGE=∠EHF．
∴GE=GB．
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠HEF+∠AEG=90°，
∴∠GAE=∠HEF．
∵AB=GH，
∴AB-GB=GH-GE，
∴AG=EH．
在△AGE和△EHF中，

∠GAE=∠HEF

AG=EH

∠AGE=∠EHF

，
∴△AGE≌△EHF（ASA）．

（2）四边形AFHG的面积不变．
∵四边形AFHG是直角梯形，
∴S_{四边形AFHG}=

（FH+AG）•GH．
∵△AGE≌△EHF，
∴FH=GE，
∴FH=BG．
∴S_{四边形AFHG}=

（GB+AG）•GH=

a²．
∴四边形AFHG的面积不变．

（3）当AE=AM时作AN⊥BD于N，
∴∠EAN=∠MAN=

∠EAF=22.5°．
∵AB=AD，
∴∠BAN=∠DAN=45°，BN=

BD
∴∠GAE=∠DAN=22.5°，
∴∠GAE=∠NAE，