Question

6．已知数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为-4，动点P表示的数为x．
（1）若P沿数轴从A向左匀速运动，运动到B点时停止．
①写出线段AB的长度是10，线段PB的长度=|x+4|（填“＞”、“=”或“＜”）；
②M为AP中点，N为PB中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请画出图形，并求出线段MN的长．
（2）当动点P在数轴这条直线上运动时；
①线段PA+PB的长度是否存在最大值或最小值，若存在，请求出这个最大值或最小值，若不存在，请说明理由；
②知识迁移：请猜想|x-1|+|x+5|的最值（最大值或最小值），并直接写出结论．
（3）动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，动点P从A点出发以每秒6个单位长度向左匀速运动，若两点同时出发若干秒种后，P，Q两点相距2个单位长度，请求出x的值．

Answer 1

分析 （1）①根据数轴上两点之间的距离公式计算即可解决问题．
②根据中点的定义可以证明MN=$\frac{1}{2}$AB．
（2）①当动点P在数轴这条直线上运动时，线段PA+PB的长度存在最小值，不存在最大值，根据图象可以发现当点P在线段AB上PA+PB最小．
②利用①的方法可以即可解决．
（3）分两种情形：①当点Q向左运动时，②当点Q向右运动时，分别列出方程即可解决问题，注意有四种情形．

解答 解：（1）①∵点A表示的数为6，点B表示的数为-4，若P沿数轴从A向左匀速运动，运动到B点时停止，
∴AB=10，PB=|x+4|，
故答案为10，=．
②如图所示，MN的长度不发生变化，
理由：∵BM=MP=$\frac{1}{2}$PB，PN=NA=$\frac{1}{2}$PA，
∴MN=PM+PN=$\frac{1}{2}$PB+$\frac{1}{2}$PA=$\frac{1}{2}$（PB+PA）=$\frac{1}{2}$AB=5．
（2）①当动点P在数轴这条直线上运动时，线段PA+PB的长度存在最小值，不存在最大值，
当点P在线段AB上时，PA+PB=AB=10，此时PA+PB最小．最小值为10．
②|x-1|+|x+5|的有最小值，没有最大值．
设点P表示的数为x，A表示1，B表示-5，
相当于求PA+PB的最小值，这个最小值为6．
（3）①当点Q向左运动时，由题意
（2t+10）-6t=2或6t-（2t+10）=2，
解得t=2或3，
②当点Q向右运动时，10-8t=2或8t-10=2，
解得t=1或$\frac{3}{2}$．
故两点同时出发2秒或3秒或1秒或$\frac{3}{2}$秒时，P，Q两点相距2个单位长度．

点评 本题考查一元一次方程、数轴、绝对值等知识，解题的关键是理解绝对值的几何意义，学会利用方程解决问题，属于中考常考题型．