Question

已知抛物线与x轴交于两点A、B，与y轴交于C点，若△ABC是等腰三角形，求抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】分析：把y=0代入解析式中求出方程的两个根x₁、x₂，x₁、x₂就是A、B两个点的横坐标，它们的纵坐标都等于0，即A（x₁，0），B（x₂，0），所以AB=|x₁-x₂|，然后再求出C（0，4），由此可以求出AC，BC，由三角形ABC是等腰三角形可得：AC=AB或BC=AB或AC=BC，根据三种不同的情况列出三个不同的方程，分别求出m的值，然后再代入解析式中即可．
解答：解：=（mx-）（x-3），
设y=0，则x1=，x2=3，
∴A（，0），B（3，0），
设x=0，则y=4，
∴C（0，4），
①若AC=BC
因为CO垂直BC，所以他也是底边中线
所以 AO=BO=3
A（-3，0）
=-3
∴m=-；
②若BC=AB
由勾股定理得：BC=5，
∴AB=|3-|=5
∴m=-，m=；
③若AC=AB
则AC=，
∴AB=|3-|=
∴m=-；
∴m=-，-，，-
∴y=-x²+4或y=-x²+x+4或y=x²-x+4或y=-x²-x+4．
点评：本题考查了二次函数和坐标轴的交点、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，难度不小．