Question

已知抛物线与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），抛物线顶点为D，连接AD，AC，CD．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）△ACD与△COB是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由；
（3）抛物线的对称轴与线段AC交于点E，求△CED的面积．

Answer 1

分析：（1）抛物线过A，B，C三点，则这三点的坐标适合抛物线解析式，从而求出抛物线解析式．
（2）根据抛物线的解析式，可通过配方（公式法亦可）求得D点的坐标，然后分别求出两个三角形中六条边的长，然后判断它们是否对应成比例即可．
（3）此题有两种解法：
①由（2）证得：△ACD∽△COB，则△ACD是直角三角形，求得了直角边AC、CD的长，即可求出△ACD的面积；然后通过比较A、E、C三点坐标，求出△AED、△CED、△ACD面积的比例关系，从而求出△CED的面积；
②先求出直线AC的解析式，联立抛物线对称轴可得到E点坐标，进而可求出DE的长，以DE为底，E点横坐标的绝对值为高即可得到△CED的面积．

解答：解：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx-3（a≠0），（1分）
根据题意，得

a+b-3=0 9a-3b-3=0

，
解得

a=1 b=2

，（2分）
∴抛物线的解析式为y=x²+2x-3．（1分）

（2）相似（1分）
由y=x²+2x-3配方得y=（x+1）²-4，
∴D（-1，-4），（1分）
由两点间距离公式得AD=2

5

，CD=

2

，AC=3

2

，（2分）
又∵CB=

10

，BO=1，OC=3，
∴

AD

CB

=

CD

BO

=

AC

CO

=

2

，
∴△ACD∽△COB．（2分）

（3）由（2）可知∠ACD=90°，
∴S△ADC=

1

2

AC•CD=3，（1分）
∵抛物线的对称轴是x=-1，A到x=-1的距离是2，C到x=-1的距离是1，
∴S△CDE=

1

2

S△ADE，又S_△ADC=S_△CDE+S_△ADE，
∴S△CDE=

1

3

S△ADC=1．（1分）

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定以及图形面积的求法，比较简单．