题目内容

已知抛物线 $数学公式$ 经过坐标原点，与直线 $数学公式$ 相交于A、B两点， $数学公式$ 与x轴、y轴分别相交于点C和D．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若把抛物线向下平移，使得抛物线经过点C，此时抛物线与直线 $数学公式$ 相交于另一点E，与x轴相交于点F，求△CEF的面积；
（3）把抛物线 $数学公式$ 上下平移，与直线相交于点G、K，能否使得CG：DK=1：2，若能成立，请求出向上或向下平移几个单位，若不能，请说明理由．

解：（1）由题意得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴x²-x-2=0，
∴x₁=2，x₂=-1，
∴A（-1， $\text{[math]}$ ），B（2，2）．

（2）把 $\text{[math]}$ 向下平移a个单位经过点C，则抛物线变为： $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ，
得C（-2，0），D（0，1），
∴0= $\text{[math]}$ （-2）²-a，a=2，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，x²-x-6=0x₁=3，x₂=-2，
∴E（3， $\text{[math]}$ ）
又C，F关于y轴对称
∴F（2，0）
∴CF=2-（-2）=4
∴S_△CEF= $\text{[math]}$ ×CF×E点纵坐标的绝对值= $\text{[math]}$ ×4× $\text{[math]}$ =5

（3）设抛物线上下平移k个单位，G点坐标为（m， $\text{[math]}$ ），K点坐标为（n， $\text{[math]}$ ，
①G在C上方时 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得k=0，没有移动，舍去；
②G在C下方时 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
解得k=-14，即向下平移14个单位，
所以，当抛物线向下平移14个单位时，满足要求．
分析：（1）让二次函数和直线解析式联立即可求得交点坐标．
（2）向下平移，顶点的纵坐标改变．设出相应的函数解析式，把C坐标代入求得函数解析式，与一次函数联立求得点E坐标，利用二次函数的对称性可求得点F的坐标．
（3）设G，K的横坐标分别为m，n，得到平移后的纵坐标．从G，K向x轴引垂线，得到一定的相似三角形．利用相似三角形的对应边的比为1：2进行求解．
点评：两个函数的交点坐标应是这两个函数的解析式组成方程组的公共解；三角形一边在坐标轴上，这边应是求三角形面积的一底边；
相似三角形的对应边的边应是相等的．