Question

如图，在正方形ABCD中，DP分别交AC、AB、CB的延长线于M、N、P，MN=1，NP=3，则DM=

2

．

Answer 1

分析：设正方形ABCD的边长AD=BC=AB=DC=a，DM=x，PB=y，根据正方形性质得出AD∥BC，推出△MPC∽△MDA，△PNB∽△DNA，得出比例式，推出方程

4

x

-1=

3

x+1

，求出x即可．

解答：解：设正方形ABCD的边长AD=BC=AB=DC=a，DM=x，PB=y，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴△MPC∽△MDA，△PNB∽△DNA，
∴

PM

DM

=

PC

AD

，

PN

DN

=

PB

AD

，
∴

3+1

x

=

y+a

a

=

y

a

+1，

3

x+1

=

y

a

，
∴

4

x

-1=

3

x+1

，
x₁=2，x₂=-2，
经检验x₁=2，x₂=-2都是方程的解，
但因为x表示边长，所以x=-2舍去，
即DM=2，
故答案为：2．

点评：本题考查了正方形的性质和相似三角形的性质和判定的应用．