题目内容

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B（5，0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD=BC=2，∠DMC=∠DOB=60度．
（1）求点D，B所在直线的函数表达式；
（2）求点M的坐标；
（3）∠DMC绕点M顺时针旋转α（0°＜α＜30°后，得到∠D₁MC₁（点D₁，C₁依次与点D，C对应），射线MD₁交边DC于点E，射线MC₁交边CB于点F，设DE=m，BF=n．求m与n的函数关系式．

解：（1）过点D作DA⊥OB，垂足为A．
在Rt△ODA中，∠DAO=90°，∠DOB=60°，
∴DA=OD•sin∠DOB= $\text{[math]}$ ，
OA=OD•cos∠DOB=1，
∴点D的坐标为（1， $\text{[math]}$ ），
设直线DB的函数表达式为y=kx+b，
由B（5，0），D（1， $\text{[math]}$ ），得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，

∴直线DB的函数表达式为y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ；

（2）∵∠DMC=∠DOB=60°，
∴∠ODM+∠DMO=120°，∠DMO+∠CMB=120°，
∴∠ODM=∠CMB，
∵等腰梯形ABCD的∠DOB=∠CBO，
∴△ODM∽△BMC，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴OD•BC=BM•OM，
∵B点为（5，0），
∴OB=5．
设OM=x，则BM=5-x
∵OD=BC=2，
∴2×2=x（5-x），
解得x₁=1，x₂=4，
∴M点坐标为（1，0）或（4，0）；

（3）解：（Ⅰ）当M点坐标为（1，0）时，如图1，

OM=1，BM=4．
∵DC∥OB，
∴∠MDE=∠DMO，
又∵∠DMO=∠MCB，
∴∠MDE=∠MCB，
∵∠DME=∠CMF=α，
∴△DME∽△CMF，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴CF=2DE，
∵CF=2-n，DE=m，
∴2-n=2m，即m=1- $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）当M点坐标为（4，0）时，如图2

OM=4，BM=1．
同（Ⅰ），可得△DME∽△CMF，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴DE=2CF，
∵CF=2-n，DE=m，
∴m=2（2-n），即m=4-2n．
综上所述，m与n的函数关系式为：m=1- $\text{[math]}$ 或m=4-2n．
分析：（1）过点D作DA⊥OB，垂足为A．利用三角函数可求得，点D的坐标为（1， $\text{[math]}$ ），设直线DB的函数表达式为y=kx+b，把点B（5，0），D（1， $\text{[math]}$ ）代入解析式利用待定系数法，得直线DB的函数表达式为y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ；
（2）先证明△ODM∽△BMC．得 $\text{[math]}$ ，所以OD•BC=BM•OM．设OM=x，则BM=5-x，得2×2=x（5-x），解得x的值，即可求得M点坐标；
（3）（Ⅰ）当M点坐标为（1，0）时，如图①，OM=1，BM=4．先求得DME∽△CMF，所以 $\text{[math]}$ ，
可得CF=2DE．所以2-n=2m，即m=1- $\text{[math]}$ ．（Ⅱ）当M点坐标为（4，0）时，OM=4，BM=1．同（Ⅰ），可得△DME∽△CMF，得 $\text{[math]}$ ，所以DE=2CF．解得m=2（2-n），即m=4-2n．
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用，其涉及的知识点比较多．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义结合梯形的性质利用相似比中的成比例线段作为相等关系求线段之间的等量关系．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．