Question

点A（-1,0）B（4,0）C（0,2）是平面直角坐标系上的三点。

① 如图10-1先过A、B、C作△ABC，然后在在轴上方作一个正方形D₁E₁F₁G₁,

使D₁E₁在AB上， F₁、G₁分别在BC、AC上

② 如图10-2先过A、B、C作圆⊙M，然后在轴上方作一个正方形D₂E₂F₂G₂,

使D₂E₂在轴上 ，F₂、G₂在圆上

③ 如图10-3先过A、B、C作抛物线，然后在轴上方作一个正方形D₃E₃F₃G₃,

使D₃E₃在轴上， F₃、G₃在抛物线上

(1)请比较 正方形D₁E₁F₁G₁ , 正方形D₂E₂F₂G₂ , 正方形D₃E₃F₃G₃ 的面积大小

(2)并简要小结解决此题所用的方法或定理。

 

Answer 1

解：(1)图10-1   设正方形的边长为

由△CG₁F₁∽△CAB 得  

 ∴∴                                

图10-2  设正方形的边长为

∵A（-1,0）B（4,0）C（0,2）

∴

∴∠ACB=90°   ∴AB是圆M的直径   

过M作MN⊥G₂F₂  由垂径定理得

解得   即                              

图10-3  设正方形的边长为

由A（-1,0）B（4,0）C（0,2）得抛物线为       

由轴对称性可知 F₃(,)   代入得

解得    ∴                 

∵ 

 ∴＜＜                         

(2)主要定理有：相似三角形的性质（相似比等于对应高之比），

勾股定理；抛物线的对称性等。