Question

【题目】如图1，在正方形中，对角线与相交于点，平分，交于点．

（1）.求证：；

（2）.点从点出发，沿着线段向点运动（不与点重合），同时点从点出发，沿着的延长线运动，点与的运动速度相同，当动点停止运动时，另一动点也随之停止运动．如图2，平分，交于点，过点作，垂足为，请猜想，与三者之间的数量关系，并证明你的猜想；

（3）.在（2）的条件下，当，时，求的长．

Answer 1

【答案】(1)见详解；(2)E1F1+A1C1=AB，证明过程见详解；(3) BD=.

【解析】

（1）.证明：

如图1，过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABCD中，AC⊥BD于点E.

∴AE=AC,∠ABD=∠CBD=45°，

∵AF平分∠BAC，

∴EF=MF，

又∵AF=AF，

∴Rt△AMF≌Rt△AEF，

∴AE=AM，

∵∠MFB=∠ABF=45°，

∴MF=MB，MB=EF，

∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB.

（2）.E1F1,A1C1与AB三者之间的数量关系：E1F1+A1C1=AB

证明：如图2,连接F1C1,过点F1作F1P⊥A1B于点P,F1Q⊥BC于点Q，

∵A1F1平分∠BA1C1,∴E1F1=PF1;同理QF1=PF1,∴E1F1=PF1=QF1，

又∵A1F1=A1F1,∴Rt△A1E1F1≌Rt△A1PF1，

∴A1E1=A1P，

同理Rt△QF1C1≌Rt△E1F1C1，

∴C1Q=C1E1，

由题意：A1A=C1C，

∴A1B+BC1=AB+A1A+BCC1C=AB+BC=2AB，

∵PB=PF1=QF1=QB，

∴A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1，

即2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1，

∴E1F1+A1C1=AB.

（3）.设PB=x，则QB=x，

∵A1E1=3,QC1=C1E1=2，

Rt△A1BC1中,A1B2+BC12=A1C12，

即(3+x)2+(2+x)2=52，

∴x1=1,x2=6(舍去)，

∴PB=1，

∴E1F1=1，

又∵A1C1=5，

由(2)的结论：E1F1+A1C1=AB，

∴AB=，

∴BD=.