题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，
为原点，点
，点
．以
为一边作等边三角形
，点
在第二象限．
(Ⅰ)如图①，求点的坐标；
(Ⅱ)将
绕点
顺时针旋转得
，点
旋转后的对应点为
．
①如图②，当旋转角为30°时，
与
分别交于点
与交于点
，求与
公共部分面积
的值；
②若
为线段
的中点，求
长的取值范围(直接写出结果即可)．
【答案】(Ⅰ)点
的坐标为
；(Ⅱ)①
；②
．
【解析】
(Ⅰ)利用
的坐标，求解
利用等边三角形的性质可得答案；
(Ⅱ) ①过点
作
于点
，分别求解
,
的面积，利用
，可得答案；②如图，
在以
为圆心，
为半径的圆上运动，延长
至
，使
则
设
，得到：
所以：
表示点与之间的距离，连接
交圆于,当在的下方，
最短，反之最长，从而可得答案．
解：(Ⅰ)
，
．
在
中，
，
．
．
是等边三角形，
．
，
∴点的坐标为．
(Ⅱ)①过点作于点，
∵将
顺时针旋转30°，得
，
．
．
．
，
．
在
中，
，
．
．
，
．
在
中，
，
．
在
中，
，
．
．
．
②如图，在以为圆心，为半径的圆上运动，
延长至，使 则
设，则由勾股定理得：
为
的中点，
所以：表示点与之间的距离，连接交圆于,
当在的下方，最短，反之最长，
设
为
解得：
为：
解得：
或
当在的下方时，坐标为：
同理：当在的上方时，
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